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LU分解又稱高斯消去法，它可以將任意一個(gè)矩陣A分解為一個(gè)“心理”下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積，即 A=LU。其中，“心理”下三角矩陣的定義為下三角矩陣和置換矩陣的乘積。

　　MATLAB提供LU分解函數(shù)lu()，其具體用法如下：

：X是任意矩陣，L是“心理”下三角矩陣，U是上三角矩陣。

：X是任意矩陣，L是“心理”下三角矩陣，U是上三角矩陣，P是置換矩陣，滿足的條件式為 。

：其中X是任意矩陣，把上三角矩陣和下三角矩陣合并在矩陣Y中給出，滿足等式為 ,但該命令將損失置換矩陣P的信息。

(3)：將矩陣進(jìn)行LU分解。

　　解：1. 新建一個(gè)M文件

　　2. 在文本編輯器中輸入代碼為：

　　A=[-1 8 -5;9 -1 2;2 -5 7];

　　[L1,U1]=lu(A)

　　A1=L1*U1

　　x=inv(A)

　　x1=inv(U1)*(L1)

　　d=det(A)

　　d1=det(L1)*det(U1)

　　3. 保存文件,運(yùn)行后得到結(jié)果為：

　　L1=

　　-0.1111 1.0000 0

　　1.0000 0 0

　　0.2222 -0.6056 1.0000

　　U1=

　　9.0000 -1.0000 2.0000

　　0 7.8889 -4.7778

　　0 0 3.6620

　　A1=

　　-1 8 -5

　　9 -1 2

　　2 -5 7

　　x=

　　-0.0115 0.1192 -0.0423

　　0.2269 -0.0115 0.1654

　　0.1654 -0.0423 0.2731

　　x1=

　　-0.0077 0.1367 -0.0423

　　0.1635 -0.1002 0.1654

　　0.0607 -0.1654 0.2731

　　d=-260

　　d1=-260

　　從上面的結(jié)果可以看出，矩陣的LU分解滿足下面的等式條件：

　4. 使用3個(gè)輸出變量的命令形式，在M文件中繼續(xù)輸入代碼為：

　　[L,U,P]=lu(A)

　　Lp=P*L

　　Ap=L*U

　　Pa=P*A

　　運(yùn)行結(jié)果為：

　　L=

　　1.0000 0 0

　　-0.1111 1.0000 0

　　0.2222 -0.6056 1.0000

　　U=

　　9.0000 -1.0000 2.0000

　　0 7.8889 -4.7778

　　0 0 3.6620

　　P=

　　0 1 0

　　1 0 0

　　0 0 1

　　Lp=

　　-0.1111 1.0000 0

　　1.0000 0 0

　　0.2222 -0.6056 1.0000

　　Ap=

　　9 -1 2

　　-1 8 -5

　　2 -5 7

　　Pa=

　　9 -1 2

　　-1 8 -5

　　2 -5 7

從上面的結(jié)果可以看出，使用3個(gè)輸出變量的命令滿足等式關(guān)系和,表示使用兩個(gè)輸出變量求解LU分解矩陣結(jié)果。

　　5. 使用LU分解來(lái)求線性方程組，在M文件中繼續(xù)輸入代碼為：

　　b=[2;3;5];

　　xb=Ab

　　y1=Lb;

　　xb1=Uy1

　　y2=L1b;

　　xb2=U1y1

　　運(yùn)行結(jié)果為：

　　xb=

　　0.1231

　　1.2462

　　1.5692

　　xb1=

　　-0.0077

　　1.4846

　　1.7769

　　xb2=

　　-0.0077

　　1.4846

　　1.77609

　　運(yùn)行結(jié)果顯示：

　　基礎(chǔ)部:劉小剛