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　　從樸素極限思想的產(chǎn)生到嚴(yán)格極限概念的建立大約經(jīng)歷了兩千多年。我們不可能在很短的篇幅內(nèi)詳盡而細(xì)致地表述這段歷史，只能簡(jiǎn)要地介紹它的大致過程，本篇文章先簡(jiǎn)要介紹樸素極限思想的萌芽。

　　從公元前5世紀(jì)開始，一些古代的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家在研究關(guān)于無(wú)限性的哲學(xué)問題和數(shù)學(xué)問題時(shí)，已經(jīng)樸素極限思想的萌芽
產(chǎn)生了一些樸素極限思想。

　　例如，古希臘雅典時(shí)期的形而上學(xué)學(xué)者Zeno（芝諾，約公元前490-約公元前430）對(duì)無(wú)限性、連續(xù)性問題進(jìn)行探索時(shí)，提出了四個(gè)著名的悖論，其中大家所熟知的關(guān)于“神行太保”Achilles（阿基里斯）永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)你Ｕ撌沁@樣說的：設(shè)想一只烏龜與Achilles賽跑，烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)位于Achilles之前A₀處。當(dāng)Achilles跑到A₀時(shí)，烏龜爬到了A₁；當(dāng)Achilles跑到A₁時(shí)，烏龜爬到了A₂；……，以此類推，Achilles永遠(yuǎn)追不上烏龜。盡管這是一個(gè)明顯錯(cuò)誤的結(jié)論，但在沒有極限概念的古代，是很難解釋清楚的，因?yàn)樵谶@個(gè)悖論中，將整個(gè)過程分割成無(wú)限多個(gè)有限過程。但是在今天，利用極限或無(wú)窮級(jí)數(shù)的知識(shí)不難說明，完成這個(gè)無(wú)限過程所走過的總路程是有限的，所用的時(shí)間也是有限的，所以，Achilles是可以追上烏龜?shù)摹?/p>

　　例如，據(jù)我國(guó)古代《莊子.天下篇》中記載，公元前3世紀(jì)，梁國(guó)的宰相惠施（以善辯著稱的名家）說過：

　　“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”

　　意思是一根一尺長(zhǎng)的棒，每天截取它長(zhǎng)度的一半，雖然越來越短，但卻永遠(yuǎn)截不完。這段話描述了一個(gè)趨于零而不等于零的無(wú)限過程。用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來描述，就是剩余棒長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)以零為極限的無(wú)窮數(shù)列

　　例如，古希臘雅典時(shí)期的詭辯學(xué)派的代表人物Antiphon（安蒂豐，約公元前480-約公元前411）為解決“化圓為方”（作一個(gè)于給定的圓面積相等的正方形）問題，首先提出了用圓的內(nèi)接正多邊形面積來逼近圓面積的思想（稱為“窮竭法”），后來被古希臘著名的應(yīng)用數(shù)學(xué)家Archimedes（阿基米德，公元前287-公元前212）用于求拋物線圖形面積。

　　例如，我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽（約225-295）在對(duì)《九章算術(shù)》作注中提出“割圓術(shù)”作為計(jì)算圓周長(zhǎng)、圓面積以及圓周率的基礎(chǔ)，基本思想也是用內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓。書中指出：

　　“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”。他用這種方法求得的圓周率

被后人稱為“徽率”。