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　　我們都知道數學源于生活但高于生活。本文將講述幾個歷史上著名的悖論，以提起讀者對數學的了解與興趣。

　　1.阿基里斯悖論

　　公元前400多年，古希臘埃利亞學派的一門徒芝諾提出了一個被稱為阿基里斯的悖論，用來反對赫拉克利特的流動說，維護埃利亞學派的靜止說。

　　古代神話中有一位跑得最快的人叫阿基里斯，但他永遠追不上烏龜，意即：阿基里斯的速度遠大于烏龜的速度，但烏龜比阿基里斯先行一段距離AB，這樣當阿基里斯從點A跑到點B時，烏龜已從點B爬到點B1;當阿基里斯從點B跑到B1時，烏龜又從B1爬到B2……如此下去，阿基里斯永遠也趕不上烏龜。一方面，阿基里斯是跑得最快的人他必能趕上烏龜;另一方面，如上法跑下去他永遠趕不上烏龜。于是便得出矛盾，這就是所謂的阿基里斯悖論。

　　2.伽利略悖論

　　1638年，伽利略指出以下事實：由于每一個自然數n都與其平方數n2之間是一一對應的，所以平方數的總數等于自然數的總數。平方數集是自然數集的部分，從而部分等于全體。這與我們常理中的全體大于部分矛盾，這就是伽利略悖論。

　　3.撒謊者悖論

　　公元4世紀，歐布里得提出如下的撒謊者悖論：

　　“本頁本行所寫的這句話是謊話。”

　　因為上行中除這句話外別無它話，所以如果此話為真話，則這行話的確是假話;反之，如果此話是假話，那么這行話應為真話。于是得出矛盾。形成該悖論的關鍵在于，作出論斷的話與被論斷的話混而唯一，要排除這種悖論在文章中的出現，就要研究語言的分層，而這是語義學研究的內容。

　　4.理發(fā)師悖論(羅素悖論)

　　1902年，英國著名哲學家、邏輯學家羅素提出了一個關于集合論的很有影響的悖論，1919年羅素又將其通俗地表述為如下的理發(fā)師悖論：

　　薩魏爾村有一位理發(fā)師給自己立了一條規(guī)矩：“他只給村子里不給自己刮胡子的人刮胡子”。

　　請問：這位理發(fā)師該不該給自己刮胡子?

　　我們不妨推理如下：如果他不給自己刮胡子，那么他是他們村不給自己刮胡子的人，所以他應該給自己刮胡子;如果他給自己刮胡子，那么他是他們村給自己刮胡子的人，按約定他不應該給他自己刮胡子。

　　由上述推理發(fā)現，不論哪種說法都會導致矛盾，于是出現悖論。

　　1902年羅素宣布了一條驚人的消息：集合論是自相矛盾的，沒有相容性!這就是著名的羅素悖論。這一發(fā)現震動了整個數學界，盡管在這之前人們在數學中也發(fā)現了悖論，但由于涉及的數學概念太多，沒有引起人們的足夠重視，所以羅素悖論的出現，引起了數學界的激烈爭論，也使人們對數學的嚴謹性產生了質疑。

　　為了解決集合論中的悖論，人們構造了一些公理系統(tǒng)，特別是策墨羅的公理集合論的發(fā)展與完善解決了集合論中的悖論問題。從對悖論的分析和研究，產生了哥德爾不完備性定理，該定理是數理邏輯學發(fā)展史上的一個里程碑。這也正是人們提出悖論和研究悖論的原因。